Potencia de un punto respecto de una circunferencia (y II)

Completamos aquí nuestro viaje al mundo de la Potencia, buscando la parte práctica que supone su aplicación a la resolución de los útiles problemas de tangencias. No olvides que, como siempre, cerraremos con un pequeño reto, que seguro que puedes resolver si hemos conseguido cautivarte con este tema tan apasionante.

Aplicación:

Pese a que, como hemos visto, el concepto de potencia no resulta muy intuitivo, su gran importancia se debe a que resulta clave para la resolución de problemas de tangencias. Y para entenderlo vamos a introducir un nuevo elemento geométrico que sirve de nexo entre potencia y tangencia: el eje radical de 2 circunferencias.

Se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuyas potencias respecto de ambas circunferencias coinciden. Ese lugar geométrico es una recta perpendicular a la que contiene a los centros de las circunferencias.

fig.10

fig.11

Su determinación es obvia en el caso de circunferencias secantes (fig.10), puesto que sus puntos de intersección tienen potencia nula respecto de ambas, y determinan así que el eje radical pase por ellos. En circunferencias tangentes (fig.11) el eje radical pasa por el punto de tangencia. En el caso de circunferencias concéntricas, el eje radical es impropio. En el de una circunferencia interior a otra, el eje radical es exterior, y para circunferencias exteriores su eje radical se sitúa entre ellas. Para la obtención del eje en estos dos últimos casos recurrimos a trazar una tercera circunferencia auxiliar secante con las dos cuyo eje buscamos, como se observa en las figs. 12 y 13.

fig.12

fig.13

La propiedad fundamental que nos servirá para resolver tangencias es que los segmentos tangentes trazados a 2 circunferencias desde cualquier punto de su eje radical tienen la misma longitud. La fig. 14 muestra esa propiedad, recordando que la longitud de las tangentes es la raíz cuadrada de la potencia, y por tanto igual para ambas circunferencias.

fig.14

La figura 15 presenta el último elemento relacionado con potencia y problemas de tangencias: el centro radical de 3 circunferencias.

fig.15

Problema y solución:

Terminamos planteando un problema de aplicación de potencia a la obtención de tangentes, para el que nos resultará muy útil el eje radical:

Obtener las circunferencias tangentes simultáneamente a una recta r y una circunferencia c dadas, conociendo el punto T de tangencia en esta.

Como no dudamos de que tu pasión por la Geometría va a impedirte abandonar esta entrada sin resolver el reto, te invitamos a que compruebes si lo has hecho correctamente es esta página con la solución.

Potencia de un punto respecto de una circunferencia (I)

Empezamos hoy una serie de entradas en las que reproducimos el artículo que sobre el concepto de Potencia se incluye en el Libro de Geometría que estamos elaborando cooperativamente los alumnos del Máster de Secundaria de la UPM. Espero que os guste y que os ayude a eliminar el rechazo que pueden producir algunas ideas más desconocidas para los "no iniciados". 

Potencia de un punto respecto de una circunferencia.
El concepto de potencia es uno de los menos intuitivos de los que se estudian en este curso de Geometría, al no ser identificable con un elemento, como en el caso de la bisectriz, o con una condición, como en el paralelismo. 
En esta sección trataremos de acercarnos a la potencia partiendo de su definición. 

Mostraremos gráficamente su significado y su relación con otros instrumentos imprescindibles para la construcción de tangencias, como son el eje radical y el centro radical. 

Por último, abordaremos uno de los aspectos más importantes de la potencia: su utilidad para la resolución de problemas de tangencias. 

Definición. 

Se llama potencia de un punto P respecto de una circunferencia c al producto de las longitudes de los segmentos determinados por dicho punto y los de intersección A y B de una secante cualquiera trazada por el punto P a la circunferencia (fig.1). 

Vamos a demostrar que ese producto es constante con independencia de la recta que elijamos. Para ello nos apoyamos en las propiedades de los triángulos semejantes y en la igualdad de los ángulos interiores de una circunferencia que abarcan el mismo arco. En el dibujo de la fig.2, los ángulos ABC y ADC son iguales, por lo que los triángulos PAD y PBC son semejantes (tienen 2 ángulos iguales), y por el teorema de Thales: PC/PA = PB/PD. De esa proporción se concluye que PC*PD = PA*PB = potencia de P. 

fig.1

fig.2

El concepto de potencia es válido también para puntos interiores a la circunferencia, aunque en este caso el signo de la potencia es negativo, porque los segmentos determinados por el punto y los de intersección de cada secante con la circunferencia tienen sentidos contrarios (fig.3). La demostración de este caso se conoce como Teorema de las cuerdas de la circunferencia: 

Si dos cuerdas se interceptan en el interior de la circunferencia, el producto de los segmentos determinados por los tres puntos de intersección en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda (fig.4). 

La demostración utiliza los mismos puntos de partida que para el caso del punto exterior, pero ahora los ángulos iguales son CAB = CDB y ACD = ABD, y los triángulos semejantes son APD y CPB. Por Thales, PC*PD = PA*PB = potencia de P.

fig.3

fig.4

Por tanto, la potencia de puntos exteriores a la circunferencia es positiva, la de los interiores es negativa, y la de los puntos que pertenecen a la propia circunferencia es cero, ya que la longitud de uno de los segmentos determinados es cero, y por tanto el producto también lo es. Y la potencia del centro es lógicamente -r2.

Bueno, empezamos a tener una visión más intuitiva de la potencia: es una cantidad negativa para puntos interiores a la circunferencia, alcanzando un valor mínimo de –r2 en el centro y aumentando parabólicamente hasta anularse en los puntos de la propia circunferencia. Luego continúa creciendo también parabólicamente cuando el punto se aleja de la circunferencia, tendiendo a infinito cuando esa distancia también tiende a infinito.  

Ahora veamos el caso particular de la recta secante que pasa por el centro de la circunferencia. Podemos expresar la potencia en relación con el radio R y la distancia d desde P al centro O de la circunferencia (fig.5):

W = PA x PB = (PO - r) * (PO + r) = d² – r²

En el caso de un punto interior (fig.6):

W’ = PA x PB = (r - d) * (r + d) = r² – d² = -W

figs.5 y 6

Y seguimos con casos particulares, ahora para rectas tangentes a la circunferencia (fig.7). Si la definición de potencia es válida para cualquier recta secante, también lo será para la tangente, caso particular en el que los puntos de intersección se convierten en uno doble: el propio punto de tangencia T, y la potencia se corresponde con el cuadrado del segmento PT. Vemos aquí la construcción de la tangente apoyándonos en el concepto de arco capaz del ángulo recto formado por la recta tangente y el radio en el punto de tangencia. Los triángulos pitagóricos de las fig.7 y fig.8 permiten relacionar geométricamente la potencia con el radio y la distancia del punto al centro, en los casos de punto exterior e interior, respectivamente. 

fig.7

fig.8

Pero demos un paso más en la búsqueda de una idea de potencia todavía más intuitiva. Como se trata de un producto de dos distancias, podemos entenderla como un área, más concretamente como el área de un rectángulo que tiene por base, por ejemplo, el segmento más largo de los definidos por los tres puntos antes citados y por altura la longitud del segmento más corto.

En el siguiente modelo dinámico de Geogebra (fig.9) podemos comprobar que al alejar el punto móvil P con respecto a la circunferencia c, el área del rectángulo así definido –y por tanto la potencia de P respecto de c- aumenta rápidamente (lo hemos limitado para hacer operativo el dibujo). También comprobamos, desplazando el punto de intersección más distante B, que la forma del rectángulo cambia al hacerlo la recta secante, pero no su área, que se muestra numéricamente con un texto dinámico. Comprobamos así que la potencia es una constante que solo depende de la distancia del punto a la circunferencia.

fig.9

Andalucía, Voronoi y el duende.

Bueno, pues aquí está la solución al reto que planteábamos esta semana: dividir el territorio de Andalucía en zonas en las que la distancia a una determinada capital de provincia es menor que la que hay a las capitales vecinas. Imagina por ejemplo que se aplica para minimizar los desplazamientos desde cada lugar del territorio a las oficinas provinciales de la Junta, que se ubican en cada una de las ocho capitales. En este caso ficticio ignoramos los condicionantes que suponen la topografía y las redes de transportes.
Evidentemente, las fronteras entre zonas contiguas son los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las dos capitales correspondientes, es decir, las mediatrices de las que nos hemos ocupado esta semana. Por tanto empezaremos por situar esas capitales mediante puntos fijos en Geogebra, y a continuación trazaremos todas las mediatrices entre capitales vecinas (líneas rojas en nuestro modelo). Para ello utilizamos directamente la herramienta mediatriz que nos ofrece la aplicación.
Pero para poder configurar los polígonos necesitamos además las capitales que circundan a la Comunidad andaluza, incluyendo las dos más meridionales de Portugal. Una nueva serie de mediatrices (aquí moradas y de línea de trazos) nos define ahora el borde que separaría nuestra "topológica" Andalucía del resto del territorio peninsular. Como comprobación de la coherencia de los límites e indicación de una posible extrapolación al exterior, trazamos además las mediatrices entre cada pareja de capitales vecinas de esa corona circundante (en azul y línea de puntos).
Nos queda resolver lo que hacemos con la costa, ya que al otro lado no hay capitales que nos permitan trazar mediatrices. En nuestro ejemplo, y por coherencia con el modelo de polígonos convexos de Voronoi, hemos optado por trazar bordes rectos entre las intersecciones de las mediatrices exteriores y la línea costera, lo que en la práctica supondría (como se aprecia en el diagrama final obtenido) graves inconvenientes para muchos gaditanos y almerienses, pero que no invalida la filosofía de nuestro modelo teórico, ni tampoco su funcionalidad, como veremos más adelante. 
Con toda esa red de rectas ya podemos trazar los polígonos que buscábamos, que no es otra cosa que el teselado de la región según el modelo de Voronoi (por el matemático Georgy Voronoi, nacido en 1868 en un pequeño pueblo del entonces imperio ruso (hoy Ucrania).

En este primer modelo de Geogebra puedes seguir paso a paso (usando los botones de avance y retroceso o el de reproducción) el procedimiento de construcción. Más abajo (y usando ese punto rojo móvil que hemos situado para terminar) comprobaremos si realmente cumple la premisa del reto, y buscaremos nuevas utilidades de la geometría variacional.   

Mientras investigamos ese "making of" del modelo dinámico, y recordando la vocación de jugar con la educación, la música y la expresión gráfica que mueven este blog, os propongo recordar a cuatro genios de entre los muchos de los que puede presumir Andalucía: seguro que los reconoces, y además podrías relacionarlos con dos de nuestras celdas coloreadas.

Terminamos con el modelo anterior de la Andalucía de Voronoi, con ese punto móvil rojo que al arrastrarlo nos permite verificar que, efectivamente, desde cualquier punto de una celda su capital está más próxima que ninguna otra. Por cierto, ¿cómo dirías que se consigue en Geogebra que la flecha salte para conectar con esa capital al cambiar de celda, o que desaparezca cuándo salimos de Andalucía?
Investiga, y piensa también otras posibles aplicaciones de modelos topológicos como este.

La mediatriz (... ahora sí) y el modelo de teselado de Voronoi

Diagrama de Voronoi a partir de conjunto aleatorio de semillas 

En matemáticas -concretamente en el ámbito de la teoría de grafos- un diagrama de Voronoi es una subdivisión del plano en regiones basada en la distancia a unos puntos pertenecientes a un subconjunto específico de dicho plano. Esos puntos, llamados "semillas" o "generadores", se establecen previamente de forma aleatoria o a partir de unas condiciones de partida.

Para cada semilla, existe una región correspondiente formada por todos los puntos del plano que se encuentran más próximos a ella que a ninguna otra semilla. Estas regiones se denominan células (o celdas, o teselas, o polígonos) de Voronoi.

De Wikipedia, english version.

Las aplicaciones de este y otros métodos de subdivisión del plano -también de otras superficies e incluso del espacio tridimensional- son muy variadas, desde la biología celular al control del tráfico aéreo, como ilustran por ejemplo esta entrada del blog de las asociaciones de profesores de matemáticas con motivo del Día Escolar de las Matemáticas (con interesantes modelos dinámicos interactivos en Geogebra), o esta otra del blog Geografía Infinita sobre el "mundo perfecto" de Voronoi, relacionada con cartografía y geopolítica. 

Concept yacht VORONOI

Entre los usos más extravagantes -y divertidos- he encontrado este lujoso "concept" superyate VORONOI, de 125 m de eslora, cuyas cubiertas superiores están protegidas por una estructura reticular basada en el diagrama del que toma su nombre y en las celdas de las colmenas construidas por las abejas. Aquí podéis verlo con más detalle.

Diagrama de Voronoi con semillas en
las capitales de provincia españolas

Precisamente de Geografía Infinita y su entrada que antes citábamos nos traemos esta curiosa imagen que superpone al mapa con la subdivisión provincial de España una retícula de Voronoi que utiliza las capitales como semillas.

Nos servirá de base para plantear el reto de hoy: se trata de subdividir el territorio de Andalucía en ocho zonas contiguas, de forma que desde cualquier punto de cada zona la distancia a la capital de provincia incluida en ella sea menor que al resto de capitales.

Efectivamente, se trata de crear una retícula de Voronoi con semillas en las ocho capitales de provincia. Pero ¿Cómo trazamos esas líneas de división? 

Como pista, piensa en cuál es la condición que deben cumplir los puntos que se encuentren en esas "fronteras" entre zonas. Y recuerda que el elemento geométrico protagonista de las entradas de esta semana es la media...triz, es decir, el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otros dos puntos dados.  

Te propongo que crees un modelo dinámico en Geogebra, importando la imagen que ponemos a continuación, y que sitúes en él con puntos fijos las capitales de provincia. Una vez que hayas creado las ocho celdas deberás comprobar, por ejemplo con un punto móvil que puedas desplazar entre ellas, que las distancias a la capital desde cualquier punto de su celda son menores que a las capitales vecinas. Una forma de verlo gráficamente es colocar textos dinámicos en pantalla que muestren esas distancias en tiempo real.

Y para cerrar, una pregunta retórica que lanzo a mis compañeros blogueros del máster de secundaria de la politécnica -con permiso del resto de visitantes si los hubiere- 

¿Habrá sido pura casualidad que esta semana Juan Alriols nos plantee como "tema de tortura" la mediatriz y que minutos después Gabriel Dorado nos hable de la teselación de Voronoi dentro de su disertación sobre sitemas GIS? 

Yo, como cartesiano irredento creo poco en casualidades -y menos aún en el destino- así que me inclino a pensar en la "mano negra" de un coordinador (no miro a nadie) "deus ex machina" que ha colocado así, sibilinamente, los dos eventos en moodle para ver si éramos capaces de detectar la sutil relación entre ellos. Pues que se sepa que sí, que a pesar de las noches sin dormir y las ocho tareas entregables diarias (AKA "manitas"), aún somos capaces de razonar, reflexionar ,,, y CAZARLO ;)

Ya es lunes, comprueba aquí si tu Voronoi cumple las premisas del reto.

La media ... triz

Hume y la Asociación de Ideas

"Las ideas o contenidos mentales se suceden unas a otras y se combinan unas con otras siguiendo un cierto orden y regularidad: cuando en nuestra mente está presente una idea, y no hacemos uso del pensamiento voluntario sino que dejamos que espontáneamente los distintos contenidos mentales fluyan uno tras otro, a esta idea le sucederá otra con la que está vinculada o unida. Unas ideas atraen a otras, del mismo modo, sugiere Hume, que en el mundo físico un cuerpo atrae a otro merced a la gravedad. 

Las leyes de la asociación describen estas fuerzas por las cuales unas ideas tienden a evocar a otras. Dado que las fuerzas que unen unas ideas con otras son, como dice Hume, "fuerzas suaves", la sucesión de una idea por otra no es una sucesión que se tenga que dar de forma absolutamente necesaria, por lo que las leyes que describen dichas regularidades no son leyes estrictas: nos dicen simplemente que si la idea "A" está vinculada con la idea "B", y en nuestra conciencia aparece la idea "A", es muy probable que aparezca después la idea "B". 

Gracias a dichas conexiones naturales formamos espontáneamente las ideas complejas a partir de las ideas simples; las leyes de la asociación describen dichas conexiones y son consecuencia  de la imaginación, no de la razón."

Historia de la Filosofía. Volumen 2: Filosofía Medieval y Moderna. Javier Echegoyen Olleta

David Hume (1711 - 1776)

Ilustración de LOREDANO

en Boomeran(g) y Claves de Razón Práctica nº 179

Y viene esto a colación de por qué perversa razón hay personas a las que la simple mención de la mediatriz nos lleva a paisajes y laberintos lúbricos e insondables como el que ilustra esta entrada (la foto no es mía y desafortunadamente tampoco he encontrado datos de su autor). Pero ahí estaba el gran Hume para decirnos que lo nuestro no es patológico, que llegamos a estas ideas maravillosamente complejas a partir de ideas simples como la del lugar geométrico del que partíamos. 

Y ahora un poco menos en serio, que hay que cumplir con esta dulce tortura semanal de llegar en plazo a las antenas de Don Cicuta y los Supertacañones (por su sabiduría lo digo, aunque su juventud les impedirá saber a quiénes me refiero, así que googleando, que es gerundio).

Documentándome sobre la mediatriz me he topado con un más que interesante estudio, de hace ya cuatro años, en el que su autor, Carlos Marcelo Godoy Villanueva, alumno del Máster de Investigación en Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias Experimentales de la UAB, nos plantea la pregunta "¿El uso conjunto de papel, lápiz y programas de geometía dinámica favorecen el aprendizaje de conceptos y objetivos geométricos?" 

Demasiado sabía él -y nosotos- cuál era la respuesta, pero como buen seguidor del método científico, nos lleva a la solución mediante un trabajo de campo con alumnos de Matemáticas de 1º de ESO. Y se apoya, entre otras cosas, en el estudio de la mediatiz y del programa Geogebra. Así que "blanco y en botella", no he podido resistirme a traerlo a esta vuestra casa. Os recomiendo encarecidamente su lectura, aunque sea en diagonal, porque creo que merece la pena. Como en la web de la UAB donde lo he localizado no hay indicaciones sobre derechos de cita o reproducción, y tampoco aparece medio de contactar con el autor, no he podido solicitar su autorización, aunque confío en que un uso estrictamente divulgativo como el que orienta este humilde blog no debería suscitar su desagrado, pese a lo cual obviamente ofrezco la inmediata retirada en el caso de que así fuere.

En una próxima entrada, y si los díscolos Lord y Master (tengo aún pendiente contar algo sobre su génesis y la de sus nombres, de los que con algo de razón se sienten poco orgullosos) se dignan mover sus "riggeadas" anatomías y "mapeadas" envolventes (vosotros me entendéis), trataremos de proponer otra vuelta de tuerca sobre la mediatriz.   

Variacional y dinámica: solución geométrica al reparto proporcional

Esta sencilla construcción basada en el Teorema de Thales nos permite dividir un segmento en partes proporcionales a unos números dados. En este caso repartiremos una tarta de queso con arándanos en porciones directamente proporcionales a las cantidades aportadas por los tres amigos que la han comprado. 

Utilizando las características de la geometría variacional y dinámica del software Geogebra, podemos comprobar gráficamente el efecto de modificar la longitud de la tarta (desplazando el punto B) o las aportaciones de cada uno de los amigos (deslizando L1, L2, y L3). Teniendo en cuenta que, para no deformar la tarta cambiando sus proporciones, una variación de su longitud implica otra análoga de su anchura, resuelve con este modelo los siguientes casos: 

 - Hallar las longitudes y áreas correspondientes a cada amigo si compran una tarta de 48 cm, sabiendo que han aportado 2,50 €, 4 € y 6 €, respectivamente. 

 - Si la tarta es de 37 cm, y el amigo Uno recibe un trozo de 13 cm, ¿cuánto deberán aportar los amigos Dos y Tres para obtener porciones iguales?¿Cuánto pagó el primero y cuál es el tamaño de esas porciones iguales que se comerán Dos y Tres? 

Documenta la solución de las hipótesis planteadas con sendas instantáneas del modelo en formato png, que deberás enlazar desde el área de comentarios.

Para pensar e investigar: ¿podríamos realizar una construcción geométrica dinámica para resolver GRÁFICAMENTE problemas análogos en caso de tartas cilíndricas?.

Un nuevo reto: las tartas circulares

Sería de gran utilidad para representar gráficos "de tarta" o de sectores circulares para la inminente campaña electoral que se avecina. Quizá pueda ayudarte consultar los distintos métodos de rectificación inversa de la circunferencia. O incluso puedas ser capaz de llegar a soluciones más interesantes basadas en el método lógico geométrico, los ángulos de la circunferencia, lugares geométricos ...

Reparto proporcional con base en la geometría: Thales y la tarta (II)

"Un soneto me manda hacer Violante / que en mi vida me he visto en tanto aprieto ...", 
decía Lope de Vega para instruirnos en el noble arte de rimar cuartetos y tercetos. 

No es Violante, sino Alriols, el que ahora nos propone componerle no un soneto, sino un ejemplo de aplicación de la geometría dinámica con Geogebra. Y sin dejar de buscar en ello lo sublime y lo inefable, que no ha de ser la ciencia materia esquiva a la belleza.

Pues bien, manos a la obra. Partiremos de la sugerencia planteada al final de la entrada anterior con la solución al reto de la "tarta de Thales": encontremos ahora la forma de dividir una nueva tarta -de queso con arándanos para salivar como nuestro querido perro de Pavlov- pero no en partes iguales, sino proporcionales respectivamente a las cantidades aportadas para pagarla por tres amigos cortos de recursos (económicos). Aquí la tarta y los aportes:

Uno aporta 2,50 €, Dos aporta 4 € y Tres, no fumador, pone 6 €  

Construye en Geogebra un modelo geométrico dinámico que permita cortar la tarta en porciones directamente proporcionales a esas cantidades (aunque habría sido más elegante repartirla por igual), y utiliza la potencia del texto dinámico para mostrar clara y rápidamente el resultado.

No esperes a que Lord y Máster te suban la solución en una próxima entrada. Seguro que las tareas del otro máster te dejan al menos 10 minutos para resolverlo.

La solución al reto: la Tarta de Thales

Efectivamente, como todos habíais adivinado, se trata de una aplicación clásica del teorema de Thales, concretamente la división de un segmento en un número dado de partes iguales.

Como tenemos 3 tartas y 21 bocas que alimentar, cada tarta deberá dividirse en 7 porciones iguales, lo que conseguimos dividiendo el lado mayor del rectángulo de la tarta en 7 segmentos de la misma longitud.

Y para ello nos basta con un escalímetro o regla graduada, una escuadra y un cartabón para trazar paralelas y el portaminas afilado que siempre llevamos encima. En realidad nos sobrarían la escuadra o el cartabón, pues con la regla graduada y la plantilla restante podríamos trazar las paralelas que necesitamos.

El procedimiento consistiría en trazar un segmento (a en nuestro dibujo) de longitud fácilmente divisible por 7 (por ejemplo 21 cm) a partir de uno de los vértices del rectángulo de la tarta. El ángulo entre el segmento y el lado mayor del rectángulo es indiferente. A continuación unimos el extremo de ese segmento (punto C) con el vértice opuesto del lado mayor de la tarta, y trazamos una paralela a esta última recta pasando por un punto situado sobre el segmento a y distante 3 cm (21/7) del punto C. La intersección de esa recta con el lado de la tarta señala la anchura exacta (segmento L') con que deberemos cortar las 7 porciones de cada tarta. 

Solución del problema en el software de geometría variacional Geogebra 

Como enunció Thales de Mileto -seis siglos antes del comienzo de nuestra era- y muy bien nos recordaban nuestros amigos Les Luthiers (podéis cantarlo si os lo sabéis), "si dos o más paralelas (rectas de color rosa) son cortadas por dos transversales (rectas verdes), dos segmentos de una de ellas (los de longitud 21 y 3 cm respectivamente) [dos segmentos cualesquieera] son proporcionales a los dos segmentos correspondientes de la otra". Por tanto, si el segmento L de 3 cm es la séptima parte del de 21 cm, entonces el segmento obtenido L' será la séptima parte del lado de la tarta.

A continuación podéis comprobar que hacer un screencast o captura de vídeo de pantalla no es complicado, incluso cuando se hace por primera vez y el "artista" no es nativo digital, como es mi caso. Aquí he utilizado el software libre Camstudio.

Por último, os animo a que busquéis nuevas aplicaciones de este axioma que tantos dolores de cabeza nos proporcionó en su día. Por ejemplo, cómo lo utilizaríais para dividir un segmento en partes directamente proporcionales a varios números: si para pagar la tarta tres amigos (o tres profesores en su defecto) J, J' y J'' ponen respectivamente 1, 2 y 5 € ¿cómo harán para cortarla en porciones proporcionales a sus aportaciones? 

Las soluciones, ahora sí, directamente en los comentarios (sorprendentemente el premio de ración doble ha quedado desierto ;)

Sigue a la solución en la siguiente entrada.