La mediatriz (... ahora sí) y el modelo de teselado de Voronoi

Diagrama de Voronoi a partir de conjunto aleatorio de semillas 

En matemáticas -concretamente en el ámbito de la teoría de grafos- un diagrama de Voronoi es una subdivisión del plano en regiones basada en la distancia a unos puntos pertenecientes a un subconjunto específico de dicho plano. Esos puntos, llamados "semillas" o "generadores", se establecen previamente de forma aleatoria o a partir de unas condiciones de partida.

Para cada semilla, existe una región correspondiente formada por todos los puntos del plano que se encuentran más próximos a ella que a ninguna otra semilla. Estas regiones se denominan células (o celdas, o teselas, o polígonos) de Voronoi.

De Wikipedia, english version.

Las aplicaciones de este y otros métodos de subdivisión del plano -también de otras superficies e incluso del espacio tridimensional- son muy variadas, desde la biología celular al control del tráfico aéreo, como ilustran por ejemplo esta entrada del blog de las asociaciones de profesores de matemáticas con motivo del Día Escolar de las Matemáticas (con interesantes modelos dinámicos interactivos en Geogebra), o esta otra del blog Geografía Infinita sobre el "mundo perfecto" de Voronoi, relacionada con cartografía y geopolítica. 

Concept yacht VORONOI

Entre los usos más extravagantes -y divertidos- he encontrado este lujoso "concept" superyate VORONOI, de 125 m de eslora, cuyas cubiertas superiores están protegidas por una estructura reticular basada en el diagrama del que toma su nombre y en las celdas de las colmenas construidas por las abejas. Aquí podéis verlo con más detalle.

Diagrama de Voronoi con semillas en
las capitales de provincia españolas

Precisamente de Geografía Infinita y su entrada que antes citábamos nos traemos esta curiosa imagen que superpone al mapa con la subdivisión provincial de España una retícula de Voronoi que utiliza las capitales como semillas.

Nos servirá de base para plantear el reto de hoy: se trata de subdividir el territorio de Andalucía en ocho zonas contiguas, de forma que desde cualquier punto de cada zona la distancia a la capital de provincia incluida en ella sea menor que al resto de capitales.

Efectivamente, se trata de crear una retícula de Voronoi con semillas en las ocho capitales de provincia. Pero ¿Cómo trazamos esas líneas de división? 

Como pista, piensa en cuál es la condición que deben cumplir los puntos que se encuentren en esas "fronteras" entre zonas. Y recuerda que el elemento geométrico protagonista de las entradas de esta semana es la media...triz, es decir, el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otros dos puntos dados.  

Te propongo que crees un modelo dinámico en Geogebra, importando la imagen que ponemos a continuación, y que sitúes en él con puntos fijos las capitales de provincia. Una vez que hayas creado las ocho celdas deberás comprobar, por ejemplo con un punto móvil que puedas desplazar entre ellas, que las distancias a la capital desde cualquier punto de su celda son menores que a las capitales vecinas. Una forma de verlo gráficamente es colocar textos dinámicos en pantalla que muestren esas distancias en tiempo real.

Y para cerrar, una pregunta retórica que lanzo a mis compañeros blogueros del máster de secundaria de la politécnica -con permiso del resto de visitantes si los hubiere- 

¿Habrá sido pura casualidad que esta semana Juan Alriols nos plantee como "tema de tortura" la mediatriz y que minutos después Gabriel Dorado nos hable de la teselación de Voronoi dentro de su disertación sobre sitemas GIS? 

Yo, como cartesiano irredento creo poco en casualidades -y menos aún en el destino- así que me inclino a pensar en la "mano negra" de un coordinador (no miro a nadie) "deus ex machina" que ha colocado así, sibilinamente, los dos eventos en moodle para ver si éramos capaces de detectar la sutil relación entre ellos. Pues que se sepa que sí, que a pesar de las noches sin dormir y las ocho tareas entregables diarias (AKA "manitas"), aún somos capaces de razonar, reflexionar ,,, y CAZARLO ;)

Ya es lunes, comprueba aquí si tu Voronoi cumple las premisas del reto.

La media ... triz

Hume y la Asociación de Ideas

"Las ideas o contenidos mentales se suceden unas a otras y se combinan unas con otras siguiendo un cierto orden y regularidad: cuando en nuestra mente está presente una idea, y no hacemos uso del pensamiento voluntario sino que dejamos que espontáneamente los distintos contenidos mentales fluyan uno tras otro, a esta idea le sucederá otra con la que está vinculada o unida. Unas ideas atraen a otras, del mismo modo, sugiere Hume, que en el mundo físico un cuerpo atrae a otro merced a la gravedad. 

Las leyes de la asociación describen estas fuerzas por las cuales unas ideas tienden a evocar a otras. Dado que las fuerzas que unen unas ideas con otras son, como dice Hume, "fuerzas suaves", la sucesión de una idea por otra no es una sucesión que se tenga que dar de forma absolutamente necesaria, por lo que las leyes que describen dichas regularidades no son leyes estrictas: nos dicen simplemente que si la idea "A" está vinculada con la idea "B", y en nuestra conciencia aparece la idea "A", es muy probable que aparezca después la idea "B". 

Gracias a dichas conexiones naturales formamos espontáneamente las ideas complejas a partir de las ideas simples; las leyes de la asociación describen dichas conexiones y son consecuencia  de la imaginación, no de la razón."

Historia de la Filosofía. Volumen 2: Filosofía Medieval y Moderna. Javier Echegoyen Olleta

David Hume (1711 - 1776)

Ilustración de LOREDANO

en Boomeran(g) y Claves de Razón Práctica nº 179

Y viene esto a colación de por qué perversa razón hay personas a las que la simple mención de la mediatriz nos lleva a paisajes y laberintos lúbricos e insondables como el que ilustra esta entrada (la foto no es mía y desafortunadamente tampoco he encontrado datos de su autor). Pero ahí estaba el gran Hume para decirnos que lo nuestro no es patológico, que llegamos a estas ideas maravillosamente complejas a partir de ideas simples como la del lugar geométrico del que partíamos. 

Y ahora un poco menos en serio, que hay que cumplir con esta dulce tortura semanal de llegar en plazo a las antenas de Don Cicuta y los Supertacañones (por su sabiduría lo digo, aunque su juventud les impedirá saber a quiénes me refiero, así que googleando, que es gerundio).

Documentándome sobre la mediatriz me he topado con un más que interesante estudio, de hace ya cuatro años, en el que su autor, Carlos Marcelo Godoy Villanueva, alumno del Máster de Investigación en Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias Experimentales de la UAB, nos plantea la pregunta "¿El uso conjunto de papel, lápiz y programas de geometía dinámica favorecen el aprendizaje de conceptos y objetivos geométricos?" 

Demasiado sabía él -y nosotos- cuál era la respuesta, pero como buen seguidor del método científico, nos lleva a la solución mediante un trabajo de campo con alumnos de Matemáticas de 1º de ESO. Y se apoya, entre otras cosas, en el estudio de la mediatiz y del programa Geogebra. Así que "blanco y en botella", no he podido resistirme a traerlo a esta vuestra casa. Os recomiendo encarecidamente su lectura, aunque sea en diagonal, porque creo que merece la pena. Como en la web de la UAB donde lo he localizado no hay indicaciones sobre derechos de cita o reproducción, y tampoco aparece medio de contactar con el autor, no he podido solicitar su autorización, aunque confío en que un uso estrictamente divulgativo como el que orienta este humilde blog no debería suscitar su desagrado, pese a lo cual obviamente ofrezco la inmediata retirada en el caso de que así fuere.

En una próxima entrada, y si los díscolos Lord y Master (tengo aún pendiente contar algo sobre su génesis y la de sus nombres, de los que con algo de razón se sienten poco orgullosos) se dignan mover sus "riggeadas" anatomías y "mapeadas" envolventes (vosotros me entendéis), trataremos de proponer otra vuelta de tuerca sobre la mediatriz.