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| Diagrama de Voronoi a partir de conjunto aleatorio de semillas |
En matemáticas -concretamente en el ámbito de la teoría de grafos- un diagrama de Voronoi es una subdivisión del plano en regiones basada en la distancia a unos puntos pertenecientes a un subconjunto específico de dicho plano. Esos puntos, llamados "semillas" o "generadores", se establecen previamente de forma aleatoria o a partir de unas condiciones de partida.
Para cada semilla, existe una región correspondiente formada por todos los puntos del plano que se encuentran más próximos a ella que a ninguna otra semilla. Estas regiones se denominan células (o celdas, o teselas, o polígonos) de Voronoi.
De Wikipedia, english version.
Las aplicaciones de este y otros métodos de subdivisión del plano -también de otras superficies e incluso del espacio tridimensional- son muy variadas, desde la biología celular al control del tráfico aéreo, como ilustran por ejemplo esta entrada del blog de las asociaciones de profesores de matemáticas con motivo del Día Escolar de las Matemáticas (con interesantes modelos dinámicos interactivos en Geogebra), o esta otra del blog Geografía Infinita sobre el "mundo perfecto" de Voronoi, relacionada con cartografía y geopolítica.
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| Concept yacht VORONOI |
Entre los usos más extravagantes -y divertidos- he encontrado este lujoso "concept" superyate VORONOI, de 125 m de eslora, cuyas cubiertas superiores están protegidas por una estructura reticular basada en el diagrama del que toma su nombre y en las celdas de las colmenas construidas por las abejas. Aquí podéis verlo con más detalle.
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| Diagrama de Voronoi con semillas en las capitales de provincia españolas |
Precisamente de Geografía Infinita y su entrada que antes citábamos nos traemos esta curiosa imagen que superpone al mapa con la subdivisión provincial de España una retícula de Voronoi que utiliza las capitales como semillas.
Nos servirá de base para plantear el reto de hoy: se trata de subdividir el territorio de Andalucía en ocho zonas contiguas, de forma que desde cualquier punto de cada zona la distancia a la capital de provincia incluida en ella sea menor que al resto de capitales.
Efectivamente, se trata de crear una retícula de Voronoi con semillas en las ocho capitales de provincia. Pero ¿Cómo trazamos esas líneas de división?
Como pista, piensa en cuál es la condición que deben cumplir los puntos que se encuentren en esas "fronteras" entre zonas. Y recuerda que el elemento geométrico protagonista de las entradas de esta semana es la media...triz, es decir, el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otros dos puntos dados.
Te propongo que crees un modelo dinámico en Geogebra, importando la imagen que ponemos a continuación, y que sitúes en él con puntos fijos las capitales de provincia. Una vez que hayas creado las ocho celdas deberás comprobar, por ejemplo con un punto móvil que puedas desplazar entre ellas, que las distancias a la capital desde cualquier punto de su celda son menores que a las capitales vecinas. Una forma de verlo gráficamente es colocar textos dinámicos en pantalla que muestren esas distancias en tiempo real.
Y para cerrar, una pregunta retórica que lanzo a mis compañeros blogueros del máster de secundaria de la politécnica -con permiso del resto de visitantes si los hubiere-
¿Habrá sido pura casualidad que esta semana Juan Alriols nos plantee como "tema de tortura" la mediatriz y que minutos después Gabriel Dorado nos hable de la teselación de Voronoi dentro de su disertación sobre sitemas GIS?
Yo, como cartesiano irredento creo poco en casualidades -y menos aún en el destino- así que me inclino a pensar en la "mano negra" de un coordinador (no miro a nadie) "deus ex machina" que ha colocado así, sibilinamente, los dos eventos en moodle para ver si éramos capaces de detectar la sutil relación entre ellos. Pues que se sepa que sí, que a pesar de las noches sin dormir y las ocho tareas entregables diarias (AKA "manitas"), aún somos capaces de razonar, reflexionar ,,, y CAZARLO ;)
Ya es lunes, comprueba aquí si tu Voronoi cumple las premisas del reto.
Ya es lunes, comprueba aquí si tu Voronoi cumple las premisas del reto.
