Potencia de un punto respecto de una circunferencia (y II)

Completamos aquí nuestro viaje al mundo de la Potencia, buscando la parte práctica que supone su aplicación a la resolución de los útiles problemas de tangencias. No olvides que, como siempre, cerraremos con un pequeño reto, que seguro que puedes resolver si hemos conseguido cautivarte con este tema tan apasionante.

Aplicación:

Pese a que, como hemos visto, el concepto de potencia no resulta muy intuitivo, su gran importancia se debe a que resulta clave para la resolución de problemas de tangencias. Y para entenderlo vamos a introducir un nuevo elemento geométrico que sirve de nexo entre potencia y tangencia: el eje radical de 2 circunferencias.

Se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuyas potencias respecto de ambas circunferencias coinciden. Ese lugar geométrico es una recta perpendicular a la que contiene a los centros de las circunferencias.

fig.10

fig.11

Su determinación es obvia en el caso de circunferencias secantes (fig.10), puesto que sus puntos de intersección tienen potencia nula respecto de ambas, y determinan así que el eje radical pase por ellos. En circunferencias tangentes (fig.11) el eje radical pasa por el punto de tangencia. En el caso de circunferencias concéntricas, el eje radical es impropio. En el de una circunferencia interior a otra, el eje radical es exterior, y para circunferencias exteriores su eje radical se sitúa entre ellas. Para la obtención del eje en estos dos últimos casos recurrimos a trazar una tercera circunferencia auxiliar secante con las dos cuyo eje buscamos, como se observa en las figs. 12 y 13.

fig.12

fig.13

La propiedad fundamental que nos servirá para resolver tangencias es que los segmentos tangentes trazados a 2 circunferencias desde cualquier punto de su eje radical tienen la misma longitud. La fig. 14 muestra esa propiedad, recordando que la longitud de las tangentes es la raíz cuadrada de la potencia, y por tanto igual para ambas circunferencias.

fig.14

La figura 15 presenta el último elemento relacionado con potencia y problemas de tangencias: el centro radical de 3 circunferencias.

fig.15

Problema y solución:

Terminamos planteando un problema de aplicación de potencia a la obtención de tangentes, para el que nos resultará muy útil el eje radical:

Obtener las circunferencias tangentes simultáneamente a una recta r y una circunferencia c dadas, conociendo el punto T de tangencia en esta.

Como no dudamos de que tu pasión por la Geometría va a impedirte abandonar esta entrada sin resolver el reto, te invitamos a que compruebes si lo has hecho correctamente es esta página con la solución.