de corazones y violines ... por el camino de la inversión (I)

(Nota del autor: antes de empezar, sería muy recomendable poner como fondo sonoro la Gnossienne nº1 de Erik Satie, a volumen brutal, por ejemplo aquí)

La entrada de hoy es alimenticia ... parte de un encargo del coordinador del módulo específico de la especialidad de Expresión Gráfica, del Máster de Profesorado de Secundaria UPM. Si queremos superar su asignatura, Bases conceptuales de la Representación Gráfica, sería "recomendable" plantear y resolver un problema "elegante" de aplicación del concepto geométrico de INVERSIÓN. Como ejemplo, nos propuso la inversión de un cuadrado con el polo en uno de sus vértices, que podéis encontrar resuelto en la web Trazoide, de Antonio Castilla.

Logo de la campaña "I love New York". Milton Glasner 1977.

¿Y qué tiene que ver la inversión con las dos imágenes de la izquierda, archiconocidos iconos visuales de la cultura occidental del s.XX?

Pues sí, como todos sospechábais, el corazón rojo (o heart, o love, según cómo queramos leerlo) y el cuerpo convertido en violín de Kiki de Montparnasse, modelo y amante de Man Ray, autor de la fotografía, están ligados bidireccionalmente mediante una transformación geométrica de inversión.

"Le violon d'Ingres". Man Ray, 1924

Recordamos -y si no lo recordamos, esta entrada del impagable blog Piziadas (no solo es ditirambo a su autor ... que también) nos ilumina- que "la inversión es una transformación homográfica involutiva en el plano, que conserva las relaciones angulares", o sea, que es conforme. 

Pero vayamos al origen, a la definición: 

Dada una circunferencia de centro O y radio k, la inversión de centro O y radio k es una transformación del plano que a cada punto A distinto de O, le asocia otro punto A' de la semirrecta OA cumpliendo la relación OA·OA' = k2

En el siguiente applet de Geogebra puedes revisar los conceptos fundamentales de la inversión (su autor es "profesor_de_dibujo" y puedes encontrarlo en geogebratube)

Llegados a este punto, no me resisto a traer un delicioso vídeo que explica visualmente las llamadas Transformaciones de Moebius, de las que la inversión es seguramente el ejemplo menos conocido e intuitivo:

Recordaremos por último algunas características de la inversión:

1. Se conservan los ángulos (transformación conforme), aunque con su sentido invertido.
2. En particular, se conservan ortogonalidad y tangencia.
3. Se conservan los puntos de intersección.
4. La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión O es la propia recta (invariante).
5. La inversa de una recta que NO pasa por O es una circunferencia que SÍ pasa por O, y viceversa.
6. La inversa de una circunferencia que NO pasa por O es otra circunferencia que TAMPOCO pasa por O.
7. No se conservan las distancias (no es isometría).

Bueno, ahora que hemos refrescado los conceptos teóricos, volvamos al problema que nos puede ayudar a superar la asignatura ... o a ser expulsados de la UPM para siempre:

Se trata de obtener la figura inversa del corazón del logo de NY (lo hemos simplificado para aplicar además la inversión de rectas), dado el centro de inversión O y la circunferencia de autoinversión o de puntos dobles (CPD), o una pareja de puntos relacionados D y D'. Aquí tienes los datos en una imagen de Geogebra para hacerte una idea.

Antes de la próxima clase de Bases Conceptuales publicaremos la solución (si conseguimos hallarla ...) y contaremos algo más sobre la utilidad de la geometría inversiva en la resolución de problemas geométricos complejos. y también sobre "el violín de Ingres", Man Ray, Kiki de Montparnasse y la apasionante bohemia de las vanguardias artísticas del París de entreguerras (y por qué hemos escuchado a Satie).

Hasta entonces.

Eureka, la encontramos: aquí está la solución.