Reparto proporcional con base en la geometría: Thales y la tarta (II)

"Un soneto me manda hacer Violante / que en mi vida me he visto en tanto aprieto ...", 
decía Lope de Vega para instruirnos en el noble arte de rimar cuartetos y tercetos. 

No es Violante, sino Alriols, el que ahora nos propone componerle no un soneto, sino un ejemplo de aplicación de la geometría dinámica con Geogebra. Y sin dejar de buscar en ello lo sublime y lo inefable, que no ha de ser la ciencia materia esquiva a la belleza.

Pues bien, manos a la obra. Partiremos de la sugerencia planteada al final de la entrada anterior con la solución al reto de la "tarta de Thales": encontremos ahora la forma de dividir una nueva tarta -de queso con arándanos para salivar como nuestro querido perro de Pavlov- pero no en partes iguales, sino proporcionales respectivamente a las cantidades aportadas para pagarla por tres amigos cortos de recursos (económicos). Aquí la tarta y los aportes:

Uno aporta 2,50 €, Dos aporta 4 € y Tres, no fumador, pone 6 €  

Construye en Geogebra un modelo geométrico dinámico que permita cortar la tarta en porciones directamente proporcionales a esas cantidades (aunque habría sido más elegante repartirla por igual), y utiliza la potencia del texto dinámico para mostrar clara y rápidamente el resultado.

No esperes a que Lord y Máster te suban la solución en una próxima entrada. Seguro que las tareas del otro máster te dejan al menos 10 minutos para resolverlo.

La solución al reto: la Tarta de Thales

Efectivamente, como todos habíais adivinado, se trata de una aplicación clásica del teorema de Thales, concretamente la división de un segmento en un número dado de partes iguales.

Como tenemos 3 tartas y 21 bocas que alimentar, cada tarta deberá dividirse en 7 porciones iguales, lo que conseguimos dividiendo el lado mayor del rectángulo de la tarta en 7 segmentos de la misma longitud.

Y para ello nos basta con un escalímetro o regla graduada, una escuadra y un cartabón para trazar paralelas y el portaminas afilado que siempre llevamos encima. En realidad nos sobrarían la escuadra o el cartabón, pues con la regla graduada y la plantilla restante podríamos trazar las paralelas que necesitamos.

El procedimiento consistiría en trazar un segmento (a en nuestro dibujo) de longitud fácilmente divisible por 7 (por ejemplo 21 cm) a partir de uno de los vértices del rectángulo de la tarta. El ángulo entre el segmento y el lado mayor del rectángulo es indiferente. A continuación unimos el extremo de ese segmento (punto C) con el vértice opuesto del lado mayor de la tarta, y trazamos una paralela a esta última recta pasando por un punto situado sobre el segmento a y distante 3 cm (21/7) del punto C. La intersección de esa recta con el lado de la tarta señala la anchura exacta (segmento L') con que deberemos cortar las 7 porciones de cada tarta. 

Solución del problema en el software de geometría variacional Geogebra 

Como enunció Thales de Mileto -seis siglos antes del comienzo de nuestra era- y muy bien nos recordaban nuestros amigos Les Luthiers (podéis cantarlo si os lo sabéis), "si dos o más paralelas (rectas de color rosa) son cortadas por dos transversales (rectas verdes), dos segmentos de una de ellas (los de longitud 21 y 3 cm respectivamente) [dos segmentos cualesquieera] son proporcionales a los dos segmentos correspondientes de la otra". Por tanto, si el segmento L de 3 cm es la séptima parte del de 21 cm, entonces el segmento obtenido L' será la séptima parte del lado de la tarta.

A continuación podéis comprobar que hacer un screencast o captura de vídeo de pantalla no es complicado, incluso cuando se hace por primera vez y el "artista" no es nativo digital, como es mi caso. Aquí he utilizado el software libre Camstudio.

Por último, os animo a que busquéis nuevas aplicaciones de este axioma que tantos dolores de cabeza nos proporcionó en su día. Por ejemplo, cómo lo utilizaríais para dividir un segmento en partes directamente proporcionales a varios números: si para pagar la tarta tres amigos (o tres profesores en su defecto) J, J' y J'' ponen respectivamente 1, 2 y 5 € ¿cómo harán para cortarla en porciones proporcionales a sus aportaciones? 

Las soluciones, ahora sí, directamente en los comentarios (sorprendentemente el premio de ración doble ha quedado desierto ;)

Sigue a la solución en la siguiente entrada.

Geometría Variacional (GV), Método Lógico Geométrico (MLG) y Axiomas Básicos de la Geometría Euclidiana (ABGE) como soporte intelectual para el reparto justo y equitativo de Recursos Básicos de Primera Necesidad

Para celebrar el previsible éxito en esta nuestra primera tarea en la Asignatura de Bases Conceptuales ...(BCRG) del Máster de Secundaria de la UPM, su coordinador (en adelante José Juan, lo de jotajota parece prematuro) ha decidido traer a clase 3 tartas heladas como esta,

de las que daremos buena cuenta todos en una sesión de dinámica de grupo en pro de la confraternización y camaradería propias de un claustro de Secundaria.

Como no podría ser de otra forma en esta asignatura, deberemos apoyarnos en las bases axiomáticas de la geometría euclidiana (y demás parafernalia afín) para conseguir una exacta equidistribución de las preciadas tartas entre los 21 comensales -los 17 alumnos más los 4 maestros: José Juan, María Jesús, Juan y José Luis. José Jaime (cuanta jota por diosss, ¿daría puntos para obtener plaza de profesor de la asignatura?) se queda sin tarta por desconocido. Como dispositivos de última tecnología I+D+I contamos con todo esto (más un transportador de ángulos que añadimos por si alguien lo considera necesario):

Pero para demostrar todo lo que hemos aprendido, nos limitaremos a 4 únicas herramientas (a elegir por el "ingeniero" u operador al mando), una de las cuales debería servirnos para escribir (lápiz, portaminas, pluma, bolígrafo, tiralíneas, rotring, o similar). El cuchillo y el mantel blanco de papel que colocaremos debajo los proporciona generosamente la ETSI de Aeronáuticos.

En resumen, el reto consiste en dividir las 3 tartas en 21 porciones del mismo tamaño, utilizando para ello exclusivamente 4 utensilios de dibujo, nuestra inteligencia y algo de imaginación.

Lord y Máster, los gemelos autores de este blog (yo soy un mero testaferro), que aparecen en la cabecera haciendo un poco de ejercicio, os recomiendan que tengáis presentes los dos teoremas protagonistas de las entradas anteriores. Aunque eso vosotros, perspicaces y amables seguidores, ya lo habíais deducido antes de empezar a leer.

Las soluciones, si os parece, por privado a mi correo UPM, para mantener el suspense ... Y al primero, doble ración de tarta.

Saludos cordiales, Santiago.  

Alea jacta est ... la solución aquí