Inversión (III) ... soluciones fáciles en un mundo invertido. Y por qué siempre nos quedará París.

Para terminar con este viaje geométrico-artístico-musical, escuchemos el jazz genuinamente parisino, manouche o gipsy swing, creado en los '30 en aquellos garitos nocturnos por Django Reinhardt, Stéphane Grapelli Grappelli y  el Quintette du Hot Club de France, interpretando aquí su Minor Swing. Django tocando así, pese a tener solo dos dedos en la mano izquierda por un accidente, es un ejemplo de que casi todo es posible cuando subyace la pasión.

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Hago un inciso para introducir anticipadamente esta entrada, que estaba prevista para cerrar el tema de inversión en algún momento. Adelanto su publicación como expiación por el desastroso examen de tangencias e inversión que he "perpetrado" esta mañana (un "simple" sexto problema de Apolonio), dejando evidencia de que en materia de geometría métrica mi ignorancia es enciclopédica y solo tiene pequeñas lagunas.

Quizá otra entrada más adelante nos permita adentrarnos en jardines -muy queridos y debatidos en la vertiente educativa de este blog- relacionados con estrategias de enseñanza-aprendizaje del dibujo técnico: "trazadismo" vs "conceptualismo", mecánica y recetas frente a deducción y generalización. 

La inversión como herramienta.

Habíamos quedado en que determinadas transformaciones, como la de cambiar los números por sus logaritmos, permitían trasladar problemas complejos a "otra realidad" en la que su resolución se simplificaba enormemente (recordamos de nuevo el ensayo sobre la inversión publicado por García Capitán en la Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericana de Matemática de 2005, que puedes leer completo aquí).

Cuando es necesario representar una serie de valores y el rango que abarcan es grande, una escala logarítmica puede proporcionar un medio de visualización de los datos que permite que se puedan determinar los valores a partir de la gráfica. La escala logarítmica se representa con distancias proporcionales a los logaritmos de los valores que se representan. Por ejemplo, en la figura superior, en ambas gráficas, se han representado los valores: 2, 5, 20, 60, 320, 780, 1500, 4900. (de Wikipedia).

En las entradas anteriores hemos visto las principales características de la inversión, una transformación proyectiva que, aunque aplicable también a geometría tridimensional, tiene interesantes aplicaciones en figuras planas.

interpretación espacial para la inversión, sirve para hacer ejercicios de esferas tangentes cuyos centros estén en un mismo plano.(http://tangencias-inversion.blogspot.com.es/)

 Los problemas que podrán simplificarse en el "mundo inverso" son aquellos que se refieren a condiciones del plano original que se conservan en su imagen invertida, es decir, las de intersección y angularidad, especialmente lo referido a tangencia y ortogonalidad.

Aquí lo vemos gráficamente: estos dos haces coaxiales son ortogonales. Las rectas forman un haz coaxial secante y las circunferencias concéntricas forman un haz coaxial no secante. Estos haces coaxiales ortogonales se transforman en dos haces coaxiales ortogonales:

Inversión de haces de circunferencias (de matematicasvisuales.com)

Habrá una tarea de aprendizaje previo consistente en dominar los conceptos básicos de la inversión, sus dos variantes según el valor positivo o negativo de su potencia, los elementos invariantes y característicos, así como problemas básicos de obtención de puntos y figuras transformadas a partir de distintos datos de la inversión. Pero eso es solo el adiestramiento en el uso de la "herramienta". Lo verdaderamente interesante viene con el conocimiento de los problemas complejos resolubles en el mundo inverso.

Inversión positiva/negativa (de Trazoide.com)

Un primer campo de aplicación está en la superación de la geometría euclidiana por la proyectiva, en la que desaparecen algunos de los invariantes de aquella, como distancias y ángulos, aunque permanecen otros, como incidencia, polaridad, tangencia y razón doble (invariantes proyectivos). Los sistemas de representación, basados en la proyectividad también pueden servirse de la inversión para simplificar algunos problemas.

En geometría avanzada, la inversión resulta fundamental en el estudio de la geometría hiperbólica.

Modelo de Poincaré para la Geometría Hiperbólica.
Se pueden hacer muchos paralelos entre la geometría euclidiana y la hiperbólica. En el modelo de Poincaré, todo el espacio hiperbólico está representado dentro de un disco de radio uno. El borde del disco representa el infinito. Dentro de este disco se cumplen los postulados de Euclides exceptuando el 5to (el de las paralelas)

Teselación del Disco de Poincaré

Las demostraciones de teoremas y postulados matemáticos y geométricos recurren en ocasiones a la inversión, tanto analítica como gráficamente.

Una de las aplicaciones geométricas más interesantes de la inversión es la resolución de problemas de curvas cónicas (incluida la circunferencia), concretamente intersecciones, tangentes y condiciones de angularidad.

La inversión conserva las tangentes:
Parábolas de focos C, D, E, F, G, ...etc., y Directriz (eje y) tangentes todas a la bisectriz del primer cuadrante (de ecuación y =x) y sus inversas en el mismo color correspondiente respecto a la circunferencia de inversión amarilla. Sus inversas son también tangentes a la misma bisectriz.
Para visualizarlas mejor aparecen sus simétricas coloreadas respecto al eje y a la izquierda de la figura. (http://tangencias-inversion.blogspot.com.es/)

En el campo más concreto de las tangencias entre rectas y circunferencias, la inversión permite simplificar y resolver el conocido como problema de Apolonio: obtener todas las posibles circunferencias tangentes a otras tres dadas. Variantes de ese problema son los que aparecen al reducir a dos el número de circunferencias y añadir otras condiciones, como puntos de paso, tangencias a rectas, radios o condiciones angulares en las intersecciones.

Y aparcamos aquí por hoy la inversión, planteando el denominado sexto problema de Apolonio (PCC), consistente en obtener una circunferencia tangente a otras dos dadas y pasando por un punto exterior (si hubiera estudiado un poco más, esta mañana la humillación no habría sido total). En breve enlazaremos la solución.

Enunciado: dadas 2 circunferencias y un punto P exterior a estas, se piden circunferencias tangentes a las dadas que pasen por el punto. Se resuelve por inversión y existen hasta 4 soluciones.

Man Ray y el París de las vanguardias.

Recordemos que la primera entrada de esta serie sobre inversión partía de una impactante fotografía de Man Ray de 1924: "Le violon d'Ingres" (El violín de Ingres).

Man Ray fue uno de los fundadores (con Tzara y Duchamp) del dadaísmo en Estados Unidos y se unió a los surrealistas en París, a donde llegó en el verano de 1921. Primero se dedicó como fotógrafo a inmortalizar a sus colegas y amigos en retratos a los que sus efectos de luz especiales dotaban de una atmósfera mágica. Por mediación de Jean Cocteau se convirtió en el fotógrafo oficial de las personalidades intelectuales y artísticas más destacadas. Retrató, entre otros, a Picasso, Gertrude Stein, Constantin Brancusi y Marcel Proust.

Autoretrato con cello de Man Ray. Rayograma 1931.

Fountain. Marcel Duchamp 1917 

Retrato de Pablo Picasso. Man Ray 1921. 

Le cadeau. Man Ray 1921.

Es inevitable pensar en la importancia de los instrumentos de cuerda para los cubistas, quienes en sus naturalezas muertas incluían mandolinas, violines y guitarras. No obstante, en estos estudios analíticos del espacio, los instrumentos eran simplemente material muerto, sin ningún efecto sensual, en tanto que Man Ray dota a su fotografía de una especial capacidad erótica, como lo subraya la referencia al pintor clasicista    Jean-Auguste-Dominique Ingres, cuyo famoso desnudo de espaldas "Baño turco" irradia sensualidad precisamente por la absurda precisión de su perfil. El título de la fotografía juega con la expresión "le violon d'Ingres", que en francés se refiere a una afición o entretenimiento llevada al virtuosismo (Ingres tocaba con gran destreza el violín, cuando dejaba los pinceles).

La bañista de Valpinçon. Ingres 1808

Baño turco. Ingres 1859.

Inspirado por la bañista de Ingres, Man Ray retrata a su musa, modelo y amante Kiki de Montparnasse, desnuda, de espaldas y también tocada con un turbante. La forzada posición de sus brazos los hace desparecer, modelando el cuerpo a modo de inmaculado violín recortado sobre el fondo oscuro. 
El surrealismo en que Ray militaba se plasma en las dos "efes" u oídos del violín, que el artista dibujó con tinta china sobre la fotografía revelada en papel, para volver entonces a fotografiarla.

En 1990, el polémico (por la utilización de cadáveres en sus fotografías) fotógrafo Joel-Peter Witkin rindió homenaje a Man Ray en su obra "Women once a bird" (mujer que una vez fue pájaro), en la que las efes del violín de Ray se han convertido en terribles cicatrices que evocan unas alas arrancadas de cuajo.

Le violon d'Ingres. Man Ray 1924

Woman once a bird. Witkin 1990.

Kiki de Montparnasse (Alice Prin), conocida como la reina de Montparnasse, modelo, musa y en ocasiones amante, de algunos de los más célebres artistas -Man Ray entre ellos- de las vanguardias europeas de las primeras décadas del siglo XX, Fue además cantante, bailarina, pintora, actriz de cine, escritora y, sobre todo, alma de aquel Quartier du Montparnasse en el que convivió, entre otros, con Gargallo (realizó un retrato suyo en bronce), Picasso, A. Modigliani, T. Tzara, F. Picabia, L. Aragon, A. Breton, P. Élouard, M. Ernst o E. Hemingway, quien prologó su autobiografía.

Kiki de Monparnasse . Pintura de Gwozdecki, 1920

Kiki (Alice Prin). 

Cómic. 2011.

Male torso. Man Ray, 1930.