Inversión (II) ... la solución del problema del corazón NY y un apunte sobre cuestiones colaterales (utilidad de la inversión, París, las vanguardias, gnossiennes ...)

El cantautor gaditano Javier Ruibal (del Puerto de Santa María, como Rafael Alberti) le puso letra a la Gnossienne nº 1 de Satie (abstenerse puristas), y nos sumerge en esas noches parisinas de burdeles, opio, cabarets y bohemia, en las que musas y artistas estaban creando las vanguardias que definirían el arte contemporáneo en el que hemos crecido ...

...

"Los poetas y los artistas determinan de común acuerdo el aspecto de su época, y el porvenir dócilmente se amolda a sus deseos". 

Apollinaire, Los pintores cubistas. 1913

Empecemos por lo que os ha traído hasta aquí, la solución del problema de inversión que planteábamos en la entrada anterior. 

Si lo habéis hecho en Geogebra sabréis que contamos con una herramienta para invertir puntos, rectas y cónicas sin más que seleccionar la circunferencia de autoinversión. 

Pero seamos limpios y utilicemos regla y compás... el corazón de partida tenía solamente cuatro segmentos: dos sobre rectas que no pasaban por el centro de inversión O (luego sus inversos son arcos de circunferencia que sí pasan por dicho centro), y otros dos sobre circunferencias que no pasaban por O (sus inversos serán arcos de circunferencias que tampoco contienen a O).

El procedimiento se reduce pues a invertir los puntos de intersección Q, S y T entre los segmentos (que serán de tangencia en los contactos recta-circunferencia), más otros dos cualesquiera (P y R en nuestro caso) pertenecientes a los arcos originales. De esta forma contamos con tres puntos invertidos para cada nuevo arco (recordamos que las circunferencias inversas de las rectas que contenían los segmentos c y d tienen que pasar por O), con lo que el problema queda resuelto.

En azul, la figura inversa de la original, el corazón rojo

Alguien pensará que mentimos al decir que el corazón se invertiría en el violín de esa mágica espalda de alabastro de Kiki de Montparnasse ... Convendría recordar lo que contestó Picasso cuando le dijeron que su retrato de Gertrude Stein no se parecía en absoluto a su modelo: "Ya se parecerá". Miremos con esos ojos de poetas y artistas a los que se refería Apollinaire.

Retrato de Gertrude Stein (1906), por Pablo Picasso, y fotografía de la escritora y mecenas americana.

Pero, realmente, ¿tiene sentido invertir? 

Si, no nos olvidamos de recordar la importancia de la inversión en la resolución de problemas complejos de tangencias y cónicas. Pero como eso podría alargar esta entrada hasta el hastío, y además tampoco renuncio a volver sobre Man Ray, Kiki y París ... lo dejaremos para una tercera entrada que subirá "as soon as possible". 

Nos quedamos con una cita de un interesante documento sobre inversión que también tendrá cabida allí:

"Para efectuar cálculos con números grandes (por ejemplo en Astronomía) cuando no había calculadoras se usaban los logaritmos. En efecto los logaritmos transforman los productos en sumas y las potencias en productos. Si tenemos que multiplicar dos números muy grandes, hallamos sus logaritmos, efectuamos la suma de dichos logaritmos y averiguamos a qué número corresponde ese logaritmo. De esta manera lo que hemos hecho es transformar el problema en otro más sencillo, resolverlo, y aplicar la transformación inversa a la solución, obteniendo la solución del problema original." 

Francisco J. García Capitán. Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de Matemática.

de corazones y violines ... por el camino de la inversión (I)

(Nota del autor: antes de empezar, sería muy recomendable poner como fondo sonoro la Gnossienne nº1 de Erik Satie, a volumen brutal, por ejemplo aquí)

La entrada de hoy es alimenticia ... parte de un encargo del coordinador del módulo específico de la especialidad de Expresión Gráfica, del Máster de Profesorado de Secundaria UPM. Si queremos superar su asignatura, Bases conceptuales de la Representación Gráfica, sería "recomendable" plantear y resolver un problema "elegante" de aplicación del concepto geométrico de INVERSIÓN. Como ejemplo, nos propuso la inversión de un cuadrado con el polo en uno de sus vértices, que podéis encontrar resuelto en la web Trazoide, de Antonio Castilla.

Logo de la campaña "I love New York". Milton Glasner 1977.

¿Y qué tiene que ver la inversión con las dos imágenes de la izquierda, archiconocidos iconos visuales de la cultura occidental del s.XX?

Pues sí, como todos sospechábais, el corazón rojo (o heart, o love, según cómo queramos leerlo) y el cuerpo convertido en violín de Kiki de Montparnasse, modelo y amante de Man Ray, autor de la fotografía, están ligados bidireccionalmente mediante una transformación geométrica de inversión.

"Le violon d'Ingres". Man Ray, 1924

Recordamos -y si no lo recordamos, esta entrada del impagable blog Piziadas (no solo es ditirambo a su autor ... que también) nos ilumina- que "la inversión es una transformación homográfica involutiva en el plano, que conserva las relaciones angulares", o sea, que es conforme. 

Pero vayamos al origen, a la definición: 

Dada una circunferencia de centro O y radio k, la inversión de centro O y radio k es una transformación del plano que a cada punto A distinto de O, le asocia otro punto A' de la semirrecta OA cumpliendo la relación OA·OA' = k2

En el siguiente applet de Geogebra puedes revisar los conceptos fundamentales de la inversión (su autor es "profesor_de_dibujo" y puedes encontrarlo en geogebratube)

Llegados a este punto, no me resisto a traer un delicioso vídeo que explica visualmente las llamadas Transformaciones de Moebius, de las que la inversión es seguramente el ejemplo menos conocido e intuitivo:

Recordaremos por último algunas características de la inversión:

1. Se conservan los ángulos (transformación conforme), aunque con su sentido invertido.
2. En particular, se conservan ortogonalidad y tangencia.
3. Se conservan los puntos de intersección.
4. La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión O es la propia recta (invariante).
5. La inversa de una recta que NO pasa por O es una circunferencia que SÍ pasa por O, y viceversa.
6. La inversa de una circunferencia que NO pasa por O es otra circunferencia que TAMPOCO pasa por O.
7. No se conservan las distancias (no es isometría).

Bueno, ahora que hemos refrescado los conceptos teóricos, volvamos al problema que nos puede ayudar a superar la asignatura ... o a ser expulsados de la UPM para siempre:

Se trata de obtener la figura inversa del corazón del logo de NY (lo hemos simplificado para aplicar además la inversión de rectas), dado el centro de inversión O y la circunferencia de autoinversión o de puntos dobles (CPD), o una pareja de puntos relacionados D y D'. Aquí tienes los datos en una imagen de Geogebra para hacerte una idea.

Antes de la próxima clase de Bases Conceptuales publicaremos la solución (si conseguimos hallarla ...) y contaremos algo más sobre la utilidad de la geometría inversiva en la resolución de problemas geométricos complejos. y también sobre "el violín de Ingres", Man Ray, Kiki de Montparnasse y la apasionante bohemia de las vanguardias artísticas del París de entreguerras (y por qué hemos escuchado a Satie).

Hasta entonces.

Eureka, la encontramos: aquí está la solución.