sábado, 26 de marzo de 2016

Inversión (II) ... la solución del problema del corazón NY y un apunte sobre cuestiones colaterales (utilidad de la inversión, París, las vanguardias, gnossiennes ...)

El cantautor gaditano Javier Ruibal (del Puerto de Santa María, como Rafael Alberti) le puso letra a la Gnossienne nº 1 de Satie (abstenerse puristas), y nos sumerge en esas noches parisinas de burdeles, opio, cabarets y bohemia, en las que musas y artistas estaban creando las vanguardias que definirían el arte contemporáneo en el que hemos crecido ...
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"Los poetas y los artistas determinan de común acuerdo el aspecto de su época, y el porvenir dócilmente se amolda a sus deseos"

Apollinaire, Los pintores cubistas. 1913


Empecemos por lo que os ha traído hasta aquí, la solución del problema de inversión que planteábamos en la entrada anterior. 


Si lo habéis hecho en Geogebra sabréis que contamos con una herramienta para invertir puntos, rectas y cónicas sin más que seleccionar la circunferencia de autoinversión. 
Pero seamos limpios y utilicemos regla y compás... el corazón de partida tenía solamente cuatro segmentos: dos sobre rectas que no pasaban por el centro de inversión O (luego sus inversos son arcos de circunferencia que sí pasan por dicho centro), y otros dos sobre circunferencias que no pasaban por O (sus inversos serán arcos de circunferencias que tampoco contienen a O).

El procedimiento se reduce pues a invertir los puntos de intersección Q, S y T entre los segmentos (que serán de tangencia en los contactos recta-circunferencia), más otros dos cualesquiera (P y R en nuestro caso) pertenecientes a los arcos originales. De esta forma contamos con tres puntos invertidos para cada nuevo arco (recordamos que las circunferencias inversas de las rectas que contenían los segmentos c y d tienen que pasar por O), con lo que el problema queda resuelto.
En azul, la figura inversa de la original, el corazón rojo
Alguien pensará que mentimos al decir que el corazón se invertiría en el violín de esa mágica espalda de alabastro de Kiki de Montparnasse ... Convendría recordar lo que contestó Picasso cuando le dijeron que su retrato de Gertrude Stein no se parecía en absoluto a su modelo: "Ya se parecerá". Miremos con esos ojos de poetas y artistas a los que se refería Apollinaire.

Retrato de Gertrude Stein (1906), por Pablo Picasso, y fotografía de la escritora y mecenas americana.

Pero, realmente, ¿tiene sentido invertir? 
Si, no nos olvidamos de recordar la importancia de la inversión en la resolución de problemas complejos de tangencias y cónicas. Pero como eso podría alargar esta entrada hasta el hastío, y además tampoco renuncio a volver sobre Man Ray, Kiki y París ... lo dejaremos para una tercera entrada que subirá "as soon as possible". 
Nos quedamos con una cita de un interesante documento sobre inversión que también tendrá cabida allí:
"Para efectuar cálculos con números grandes (por ejemplo en Astronomía) cuando no había calculadoras se usaban los logaritmos. En efecto los logaritmos transforman los productos en sumas y las potencias en productos. Si tenemos que multiplicar dos números muy grandes, hallamos sus logaritmos, efectuamos la suma de dichos logaritmos y averiguamos a qué número corresponde ese logaritmo. De esta manera lo que hemos hecho es transformar el problema en otro más sencillo, resolverlo, y aplicar la transformación inversa a la solución, obteniendo la solución del problema original." 
Francisco J. García Capitán. Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de Matemática.