Potencia de un punto respecto de una circunferencia (I)

Empezamos hoy una serie de entradas en las que reproducimos el artículo que sobre el concepto de Potencia se incluye en el Libro de Geometría que estamos elaborando cooperativamente los alumnos del Máster de Secundaria de la UPM. Espero que os guste y que os ayude a eliminar el rechazo que pueden producir algunas ideas más desconocidas para los "no iniciados". 

Potencia de un punto respecto de una circunferencia.
El concepto de potencia es uno de los menos intuitivos de los que se estudian en este curso de Geometría, al no ser identificable con un elemento, como en el caso de la bisectriz, o con una condición, como en el paralelismo. 
En esta sección trataremos de acercarnos a la potencia partiendo de su definición. 

Mostraremos gráficamente su significado y su relación con otros instrumentos imprescindibles para la construcción de tangencias, como son el eje radical y el centro radical. 

Por último, abordaremos uno de los aspectos más importantes de la potencia: su utilidad para la resolución de problemas de tangencias. 

Definición. 

Se llama potencia de un punto P respecto de una circunferencia c al producto de las longitudes de los segmentos determinados por dicho punto y los de intersección A y B de una secante cualquiera trazada por el punto P a la circunferencia (fig.1). 

Vamos a demostrar que ese producto es constante con independencia de la recta que elijamos. Para ello nos apoyamos en las propiedades de los triángulos semejantes y en la igualdad de los ángulos interiores de una circunferencia que abarcan el mismo arco. En el dibujo de la fig.2, los ángulos ABC y ADC son iguales, por lo que los triángulos PAD y PBC son semejantes (tienen 2 ángulos iguales), y por el teorema de Thales: PC/PA = PB/PD. De esa proporción se concluye que PC*PD = PA*PB = potencia de P. 

fig.1

fig.2

El concepto de potencia es válido también para puntos interiores a la circunferencia, aunque en este caso el signo de la potencia es negativo, porque los segmentos determinados por el punto y los de intersección de cada secante con la circunferencia tienen sentidos contrarios (fig.3). La demostración de este caso se conoce como Teorema de las cuerdas de la circunferencia: 

Si dos cuerdas se interceptan en el interior de la circunferencia, el producto de los segmentos determinados por los tres puntos de intersección en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda (fig.4). 

La demostración utiliza los mismos puntos de partida que para el caso del punto exterior, pero ahora los ángulos iguales son CAB = CDB y ACD = ABD, y los triángulos semejantes son APD y CPB. Por Thales, PC*PD = PA*PB = potencia de P.

fig.3

fig.4

Por tanto, la potencia de puntos exteriores a la circunferencia es positiva, la de los interiores es negativa, y la de los puntos que pertenecen a la propia circunferencia es cero, ya que la longitud de uno de los segmentos determinados es cero, y por tanto el producto también lo es. Y la potencia del centro es lógicamente -r2.

Bueno, empezamos a tener una visión más intuitiva de la potencia: es una cantidad negativa para puntos interiores a la circunferencia, alcanzando un valor mínimo de –r2 en el centro y aumentando parabólicamente hasta anularse en los puntos de la propia circunferencia. Luego continúa creciendo también parabólicamente cuando el punto se aleja de la circunferencia, tendiendo a infinito cuando esa distancia también tiende a infinito.  

Ahora veamos el caso particular de la recta secante que pasa por el centro de la circunferencia. Podemos expresar la potencia en relación con el radio R y la distancia d desde P al centro O de la circunferencia (fig.5):

W = PA x PB = (PO - r) * (PO + r) = d² – r²

En el caso de un punto interior (fig.6):

W’ = PA x PB = (r - d) * (r + d) = r² – d² = -W

figs.5 y 6

Y seguimos con casos particulares, ahora para rectas tangentes a la circunferencia (fig.7). Si la definición de potencia es válida para cualquier recta secante, también lo será para la tangente, caso particular en el que los puntos de intersección se convierten en uno doble: el propio punto de tangencia T, y la potencia se corresponde con el cuadrado del segmento PT. Vemos aquí la construcción de la tangente apoyándonos en el concepto de arco capaz del ángulo recto formado por la recta tangente y el radio en el punto de tangencia. Los triángulos pitagóricos de las fig.7 y fig.8 permiten relacionar geométricamente la potencia con el radio y la distancia del punto al centro, en los casos de punto exterior e interior, respectivamente. 

fig.7

fig.8

Pero demos un paso más en la búsqueda de una idea de potencia todavía más intuitiva. Como se trata de un producto de dos distancias, podemos entenderla como un área, más concretamente como el área de un rectángulo que tiene por base, por ejemplo, el segmento más largo de los definidos por los tres puntos antes citados y por altura la longitud del segmento más corto.

En el siguiente modelo dinámico de Geogebra (fig.9) podemos comprobar que al alejar el punto móvil P con respecto a la circunferencia c, el área del rectángulo así definido –y por tanto la potencia de P respecto de c- aumenta rápidamente (lo hemos limitado para hacer operativo el dibujo). También comprobamos, desplazando el punto de intersección más distante B, que la forma del rectángulo cambia al hacerlo la recta secante, pero no su área, que se muestra numéricamente con un texto dinámico. Comprobamos así que la potencia es una constante que solo depende de la distancia del punto a la circunferencia.

fig.9