¿Cómo enseñamos y aprendemos la geometría? Réquiem por nuestra entrañable Línea de Tierra.

Para la entrada de hoy, con la que cerramos la participación en el Máster UPM de Formación de Profesorado de Secundaria, y puesto que como réquiem la hemos titulado, nos va a acompañar una joya de la música polifónica española del Renacimiento: Parce mihi domine, del Oficium Defunctorum de Cristóbal de Morales (1500 -1553). Morales, junto con Francisco Guerrero y Tomás Luis de Victoria, representa la cumbre de la composición musical española de todos los tiempos. 

En 1994, el noruego Jan Garbarek unió su saxofón soprano, cortante y preciso como un escalpelo, a las voces del cuarteto vocal masculino británico Hilliard Ensemble, en esta grabación sublime y sobrecogedora. 

El debate sobre buenas prácticas en la enseñanza de la geometría no merecía menos.

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Parce mihi Domine, nihil enim sunt dies mei.
Quid est homo, quia magnificas eum?
Aut quid apponis erga eum cor tuum?
Visitas cum diluculo, et subito probas illum.
Usquequo non parcis michi, nec dimittas me, ut glutiam salivam meam?
Peccavi. Quid faciam tibi, o custos hominum?
Quare posuisti me contrarium tibi, et factus sum michimet ipsi gravis?
Cur non tollis peccatum meum, et quare non aufers iniquitatem meam?
Ecce nunc in pulvere dormio; et si mane me quesieris, non subsistam.

Perdóname Señor, porque mis días son un soplo.
¿Qué es el hombre para que le des tanta importancia,
para que pongas en él tu atención,
para que cada mañana lo inspecciones y sin cesar lo pongas a prueba?
¿Hasta cuándo seguirás vigilándome sin darme tregua ni para tragar saliva?
¿Qué daño te hizo mi pecado, guardián de los hombres?
¿Por qué me has convertido en blanco de tus flechas? ¿Por qué he de ser una carga para ti?
¿Por qué no olvidas mi pecado ni pasas por alto mi culpa?
Mira que bien pronto yaceré en la tierra y no me hallarás, aunque me busques.

Parce mihi Domine - (Job 7: 16-21)

¿Es razonable seguir enseñando y aprendiendo geometría? En su caso ¿qué y cómo?
Resulta paradójico que, a punto de terminar al Máster de Profesorado de Secundaria, en la especialidad de Expresión Gráfica, y de haber compartido tres meses de prácticas con alumnado y docentes en las aulas de dibujo de todos los cursos de ESO y Bachillerato, no haya avanzado mucho en las respuestas a estas preguntas, básicamente porque ni siquiera suelen formularse, salvo honrosas excepciones.
Hay una inercia de los docentes (no solo en esta materia), a enseñar lo que ellos aprendieron, y con procedimientos y objetivos (o ausencia de ellos) similares. Pero es que el mundo y la sociedad en que vivimos están en permanente y creciente transformación. Si la escuela no se adapta y se reformula al ritmo de ese contexto cambiante, se produce una brecha cuya primera consecuencia es la desmotivación del alumnado, el fracaso y el abandono escolar.

Constructivismo avant-la-lettre en el taller de Geometría de la
Escuela Profesional de Artesanos de Badajoz (hoy IES Castelar) 1930  

Resolución del problema de mínima distancia entre dos rectas que se cruzan, en diédrico clásico.
(De antoniovallecillos.blogspot.com)

Libro de texto de Suárez Somonte (1914), catedrático y director del instituto del Cardenal Cisneros

 Un libro de geometría sin imágenes... las tenían que elaborar los propios alumnos a partir del texto. Aquí la demostración de Pitágoras por semejanza de triángulos.
Quién dijo que el enfoque constructivista era 'el último grito', esto tiene un siglo. 

   
Y no es que aquellos maestros o sus métodos fueran malos, ni mucho menos. Me ha resultado curioso leer el prólogo de este libro de texto de 1914, escrito por el catedrático de la asignatura y destinado a estudiantes de aquel Bachillerato (12 ó 13 años) en el Instituto del Cardenal Cisneros de Madrid. Lo publican en un blog elaborado por el actual departamento de Matemáticas del IES Cardenal Cisneros (donde por cierto estudian dos de mis hijas). 
En él encuentro planteamientos similares a los que rigen la enseñanza de la geometría hoy día, ni más ni menos que... en la Escuela de Aeronáuticos de la UPM o en nuetro propio Máster para futuros profesores de Expresión Gráfica en Secundaria. Parece que buenos docentes ha habido siempre:

En esta Geometría el alumno no puede aprender de memoria ni las demostraciones ni las figuras a que aquéllas se refieren, porque ni hay figuras en el libro, ni en rigor hay en él demostraciones.

Los párrafos que siguen a los enunciados de los teoremas o de los problemas indican el camino que hay que seguir para demostrar los primeros o para resolver los segundos. El que siga ese camino demostrará los teoremas y resolverá los problemas razonando por su propia cuenta sobre figuras dibujadas por él y hechas sin traba alguna de posición impuesta, que conduce muchas veces a error en los libros de Geometría con figuras.

El que por vez primera siga ese método en la enseñanza de la Geometría llegará a desconfiar del éxito y sentirá temores al ver lo poco que avanza en la asignatura. Que no le importe: yo también tuve esas dudas y sentí esos temores el primer año, al ver pasados casi cuatro meses del curso, bien menguado ya por las largas vacaciones de Navidad, cuando mis alumnos habían aprendido a demostrar, en la forma antes dicha, y no llevábamos dada ni la cuarta parte de la asignatura; es decir, que por aquella época mis alumnos sabían razonar, pero sabían muy poca Geometría (Yo, amante de esta Ciencia, declaro que vale mucho más saber razonar que saber Geometría). Bien pronto se desvanecieron mis temores por el atraso de la clase, al convencerme de que ésta estaba ya en condiciones de seguir el camino de la asignatura con la velocidad que fuera preciso.  

                           Prólogo de Geometría (1914), de Ignacio Suárez Somonte

Bueno, con respecto a la enseñanza de esa geometría que siempre fue capital en la educación de la persona... yo voy a mojarme, aportando mi humilde opinión como futuro docente de la materia (si es que esta carrera de fondo para lograrlo me lleva algún día a la meta). 
Sí, la geometría sigue siendo fundamental en la formación de las nuevas generaciones. Entre los objetivos irrenunciables que justifican su vigencia podemos apuntar:

• Analizar la realidad, sistematizando las formas y sus propiedades.
• Ejercitar el método lógico-deductivo como medio para ordenar el conocimiento, desarrollar el pensamiento crítico, la capacidad de abstracción y la inteligencia.
• Fomentar la creatividad, desde una visión abierta del corpus de conocimientos geométricos.
• Desarrollar la capacidad para resolver problemas complejos a través del dibujo y los métodos y modelos geométricos, más intuitivos y amigables que los de otras ramas de las Matemáticas.
• Integrar la geometría métrica y la descriptiva con la analítica y el resto de ciencias exactas.
• Servir de soporte científico e instrumental a la infografía en su amplísimo espectro.

Con respecto al qué y el cómo... podríamos distinguir dos enfoques docentes en geometría:

• Axiomática, del mundo de los conceptos, la abstracción y la sistematización, en una línea que va desde Euclides a David Hilbert, por ejemplo.
• Intuitiva, más pragmática y accesible, con ejemplos como las lúnulas de Hipócrates, los poliedros de Platón, el teorema de Pitágoras, las cónicas de Apolonio o los sistemas perspectivos.    

Conceptualismo.
Plano definido por 3 puntos

Enfoque intuitivo y accesible de la geometría.
Poliedros y su representación.

Son dos caras de una misma moneda, y a juicio de muchos docentes su aplicación y peso en las aulas depende, básicamente, de la edad del alumnado y la consiguiente capacidad lógica y abstracta de su cerebro. 

Así, hasta los 12 años la geometría debería ser experimental e intuitiva, viajando desde el análisis de la naturaleza hacia una progresiva abstracción. Para ello hay metodología y recursos docentes que han demostrado su eficacia. A la geometría de regla y compás se suman desde hace años las TIC.
Por su parte, para la enseñanza superior, en carreras técnico-científicas, se reserva el método lógico geométrico, la necesidad de conceptos, sistematización, axiomas, demostraciones e investigación.

La cuestión es de nuevo cómo enseñamos geometría en ESO y Bachillerato, entre los 12 y 18 años.  
Desde luego, no parece sostenible seguir obligándoles a memorizar colecciones de láminas y problemas con el único objetivo de superar la PAU. Será clave en cambio motivarlos e incluir en los procesos de aprendizaje herramientas TIC próximas a su universo, que complementen la enseñanza 'convencional'.

Manipulación de objetos tridimensionales

Análisis de empaquetamiento espacial

Bring your own device

Realidad Aumentada y percepción espacial.

Bueno, ahora sí, vamos a poner nuestro granito de arena, aunque sea brevemente, en el debate que se planteaba para este final de curso: ¿Diédrico clásico o diédrico directo, Monge o Millar?

Pero antes, y para prepararnos, escuchemos otro tema de Jan Garbarek, en este caso la intemporal My Song, que compuso en 1978 con el pianista Keith Jarrett, interpretada aquí a la guitarra por Pat Metheny (tampoco os perdáis la versión original, una de las piezas con mayor éxito de ventas en la historia del jazz).   

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Diédrico clásico o directo, ¿una elección visceral o racionalizable?

Cuando se ama algo con pasión, no es extraño que surjan posiciones encontradas defendidas a capa y espada, con y sin argumentos, por feeling, o química, o piel. Hay que ser de Verdi o de Wagner, de microsoft o de apple, de iphone o de android, de los beatles o de los stones, analógico o digital, de River o de Boca, acústico o electrónico, figurativo o abstracto, de Disney o de Pixar. No hay términos medios, o conmigo o contra mí.

Los apasionados de la geometría no son menos viscerales, y cuando toman partido lo hacen a cara de perro, sin hacer prisioneros, porque aún hay cosas por las que merece la pena morir... o al menos dejarse partir la cara.

Piet Mondrian, holandés abanderado del neoplasticismo junto con Theo van Doesburg, abandonó el movimiento De Stijl y rompió toda relación con su amigo y cómplice artístico y filosófico cuando este introdujo la diagonal en sus "contracomposiciones"(herejía en un universo exclusivo de horizontales y verticales). Sin olvidar la osadía de usar colores distintos de los primarios rojo, amarillo y azul, que junto con los no-colores blanco y negro habían sido los únicos axiomáticamente aceptados para su nueva concepción coherente del mundo (dicen que Mondrian tenía absolutamente vetado el color verde en su casa). Vale, es cierto que algo de leyenda hay en todo ello, pero como ya se ha dicho en este blog, se non è vero è ben trovato, y los escritos de ambos genios demuestran que esas revoluciones geométricas estuvieron en el germen de su ruptura.

Composición V (1925). Theo Van Doesburg.

Composición en rojo, amarillo y azul (1921). Piet Mondrian

Pues bien, ¿por qué no hay unanimidad en la conveniencia o no de sustituir definitivamente el ilustre Sistema Diédrico, que debemos desde principios del siglo XIX a Gaspard Monge y sus discípulos, por su versión actualizada un siglo después por el profesor norteamericano Adam V. Millar, denominada DIÉDRICO DIRECTO o libre?

Desde el punto de vista formal lo más evidente es la eliminación de la línea de tierra, dado que los aún llamados plano horizontal y vertical de proyección no son ya planos concretos que se intersectan ortogonalmente en la línea de tierra, sino cualquiera de los planos perpendiculares respectivamente a esas dos direcciones de proyección. Junto con la línea de tierra desaparecen también las trazas de rectas y planos (que tan útiles nos resultaban en la metodología clásica que todos aprendimos), las coordenadas cartesianas absolutas (lateralidad X, alejamiento Y, cota Z), que ahora pasan a ser relativas de unos elementos con otros, y los cuadrantes y bisectores (ahora los planos de proyección siempre se sitúan por debajo y detrás de los objetos representados). Con todo ello, y pese a que ambas versiones del sistema son compatibles y podrían convivir incluso en un mismo dibujo, desaparecen muchos de los procedimientos que se utilizaban para la resolución de problemas, y que ahora serán sustituidos por otros nuevos.

Como en su día ocurrió con Mondrian y con Van Doesburg, las posturas entre partidarios de uno y otro sistema son maximalistas, excluyentes e irreconciliables. Y no hay más que darse una vuelta por los comentarios vertidos en los numerosos y muy interesantes blogs y webs enfocados a la enseñanza de esta disciplina.

Ya disponíamos de amplia bibliografía de referencia en español para cada opción, entre la que destaco los excelentes libros de Fernando Izquierdo Asensi (de quien recibí clase hace tres décadas en la ETSAM) y de David Corbella Barrios (que ha sido también profesor mío en este Máster). Ambos en la vertiente clásica, podemos citar en contrapartida los de Victorino González García o el más reciente de Vicente Giménez Peris para el Diédrico Directo.  

Pero si las ventajas e inconvenientes de cada enfoque podrían ser debatidas desde un punto de vista práctico y conceptual, mucho más interesante nos parece la cuestión de cuál es el método idóneo para su enseñanza en la etapa de ESO y Bachillerato. 

Cabeza ortográfica, Durero.

Para algunos autores, como Grassa Miranda (2009), la elección tiene mucho que ver con la dicotomía entre lo axiomático y lo intuitivo, siendo esta última opción la que se identifica con el método directo, adoptado ampliamente en el ámbito anglosajón, frente a lo que él denomina "diédrico español", anclado aún en el método clásico de Monge. Si aceptamos esta visión, sólidamente defendida en su tesis doctoral y compartida por otros especialistas, entonces parece conveniente empezara a introducir el diédrico directo desde la enseñanza secundaria.

Partiendo de que a día de hoy la inmensa mayoría de los que estudiamos el método directo de Millar ya nos habíamos formado en el diédrico clásico, lo que supone una visión sesgada y subjetiva de su idoneidad, creo que una apuesta decidida por abrazar la "modernidad" de este aparato de pensamiento y desarrollo de la geometría descriptiva debería contar entre otras cosas con:

• El máximo respaldo y consenso por parte de la comunidad educativa en todos sus estamentos (administración incluida) y etapas, desde Primaria hasta Superior.
• Una investigación empírica, rigurosa y solvente sobre los efectos del trasvase en los resultados de aprendizaje del alumnado, 
• Un conjunto de materiales y recursos docentes contrastados y de calidad, que además aproximen el método a su aplicación en problemas realistas y cercanos.   

Aunque nos remitiremos a una próxima entrada para hacer un análisis comparado de ambos métodos en la resolución de algunos problemas concretos (cada método tiene unos casos para los que se demuestra como ventajoso), incrustamos a continuación como aperitivo un interesante recurso elaborado por Circulandia en la plataforma Mongge (también daría para mucho el análisis de los distintos repositorios y softwares que ofrecen contenidos accesibles en la red). 
Puedes pulsar sobre el rótulo Solución para analizar paso a paso el proceso de resolución para la obtención de la recta que, pasando por un punto dado, se apoya en otras dos rectas también dadas.