Bueno, pues aquí está la solución al reto que planteábamos esta semana: dividir el territorio de Andalucía en zonas en las que la distancia a una determinada capital de provincia es menor que la que hay a las capitales vecinas. Imagina por ejemplo que se aplica para minimizar los desplazamientos desde cada lugar del territorio a las oficinas provinciales de la Junta, que se ubican en cada una de las ocho capitales. En este caso ficticio ignoramos los condicionantes que suponen la topografía y las redes de transportes.
Evidentemente, las fronteras entre zonas contiguas son los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las dos capitales correspondientes, es decir, las mediatrices de las que nos hemos ocupado esta semana. Por tanto empezaremos por situar esas capitales mediante puntos fijos en Geogebra, y a continuación trazaremos todas las mediatrices entre capitales vecinas (líneas rojas en nuestro modelo). Para ello utilizamos directamente la herramienta mediatriz que nos ofrece la aplicación.
Pero para poder configurar los polígonos necesitamos además las capitales que circundan a la Comunidad andaluza, incluyendo las dos más meridionales de Portugal. Una nueva serie de mediatrices (aquí moradas y de línea de trazos) nos define ahora el borde que separaría nuestra "topológica" Andalucía del resto del territorio peninsular. Como comprobación de la coherencia de los límites e indicación de una posible extrapolación al exterior, trazamos además las mediatrices entre cada pareja de capitales vecinas de esa corona circundante (en azul y línea de puntos).
Nos queda resolver lo que hacemos con la costa, ya que al otro lado no hay capitales que nos permitan trazar mediatrices. En nuestro ejemplo, y por coherencia con el modelo de polígonos convexos de Voronoi, hemos optado por trazar bordes rectos entre las intersecciones de las mediatrices exteriores y la línea costera, lo que en la práctica supondría (como se aprecia en el diagrama final obtenido) graves inconvenientes para muchos gaditanos y almerienses, pero que no invalida la filosofía de nuestro modelo teórico, ni tampoco su funcionalidad, como veremos más adelante.
Con toda esa red de rectas ya podemos trazar los polígonos que buscábamos, que no es otra cosa que el teselado de la región según el modelo de Voronoi (por el matemático Georgy Voronoi, nacido en 1868 en un pequeño pueblo del entonces imperio ruso (hoy Ucrania).
En este primer modelo de Geogebra puedes seguir paso a paso (usando los botones de avance y retroceso o el de reproducción) el procedimiento de construcción. Más abajo (y usando ese punto rojo móvil que hemos situado para terminar) comprobaremos si realmente cumple la premisa del reto, y buscaremos nuevas utilidades de la geometría variacional.
Evidentemente, las fronteras entre zonas contiguas son los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las dos capitales correspondientes, es decir, las mediatrices de las que nos hemos ocupado esta semana. Por tanto empezaremos por situar esas capitales mediante puntos fijos en Geogebra, y a continuación trazaremos todas las mediatrices entre capitales vecinas (líneas rojas en nuestro modelo). Para ello utilizamos directamente la herramienta mediatriz que nos ofrece la aplicación.
Pero para poder configurar los polígonos necesitamos además las capitales que circundan a la Comunidad andaluza, incluyendo las dos más meridionales de Portugal. Una nueva serie de mediatrices (aquí moradas y de línea de trazos) nos define ahora el borde que separaría nuestra "topológica" Andalucía del resto del territorio peninsular. Como comprobación de la coherencia de los límites e indicación de una posible extrapolación al exterior, trazamos además las mediatrices entre cada pareja de capitales vecinas de esa corona circundante (en azul y línea de puntos).
Nos queda resolver lo que hacemos con la costa, ya que al otro lado no hay capitales que nos permitan trazar mediatrices. En nuestro ejemplo, y por coherencia con el modelo de polígonos convexos de Voronoi, hemos optado por trazar bordes rectos entre las intersecciones de las mediatrices exteriores y la línea costera, lo que en la práctica supondría (como se aprecia en el diagrama final obtenido) graves inconvenientes para muchos gaditanos y almerienses, pero que no invalida la filosofía de nuestro modelo teórico, ni tampoco su funcionalidad, como veremos más adelante.
Con toda esa red de rectas ya podemos trazar los polígonos que buscábamos, que no es otra cosa que el teselado de la región según el modelo de Voronoi (por el matemático Georgy Voronoi, nacido en 1868 en un pequeño pueblo del entonces imperio ruso (hoy Ucrania).
En este primer modelo de Geogebra puedes seguir paso a paso (usando los botones de avance y retroceso o el de reproducción) el procedimiento de construcción. Más abajo (y usando ese punto rojo móvil que hemos situado para terminar) comprobaremos si realmente cumple la premisa del reto, y buscaremos nuevas utilidades de la geometría variacional.
Mientras investigamos ese "making of" del modelo dinámico, y recordando la vocación de jugar con la educación, la música y la expresión gráfica que mueven este blog, os propongo recordar a cuatro genios de entre los muchos de los que puede presumir Andalucía: seguro que los reconoces, y además podrías relacionarlos con dos de nuestras celdas coloreadas.
Terminamos con el modelo anterior de la Andalucía de Voronoi, con ese punto móvil rojo que al arrastrarlo nos permite verificar que, efectivamente, desde cualquier punto de una celda su capital está más próxima que ninguna otra. Por cierto, ¿cómo dirías que se consigue en Geogebra que la flecha salte para conectar con esa capital al cambiar de celda, o que desaparezca cuándo salimos de Andalucía?
Investiga, y piensa también otras posibles aplicaciones de modelos topológicos como este.
